7.7 常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0【*】
其中p、q为常数，称【*】为二阶常系数齐次线性微分方程。
……
留两个视频给明天吧，进度赶得上计划，也不必太着急。
……
2020年8月20日，凌晨。
其实这样表述很生活化啊，“看不见你说啥”对于我们可能觉得违和，但对于其兄妹来说是相当常见且互相理解的句子，富有生活气息。
我以为，言以达意为佳，不需拘泥语法。所谓语法，不过是大多数人为普适性情况基于精确性、统一性等将习惯规定成的一种语言规范、规则。在特定场合特定人物的语言可以以互相理解为优先进行表述。——对《写手小姐的笔上挂着尸体》进行的本章说。
2020年8月20日，周四。
抢到29号去学校的票了。害，鸽子窝里我他喵车票最贵。
7.7 二阶常系数齐次线性微分方程
λ²+pλ+q=0为【*】的特征方程
Case1：p²-4q＞0则
y₁=e^(λ₁x)，y₂=e^(λ₂x)是方程两个线性无关解，因此
y=C₁e^(λ₁x)+C₂e^(λ₂x)是【*】的通解。
Case2：p²-4q=0
y₁=e^(λ₁x)为【*】的解，还需找一个与y₁线性无关的解y₂。
令y₂/y₁=u(x)（≠C），y₂=u(x)y₁，
对y₂求导：y₂'=e^λ₁x（u'+λ₁u），
y₂''=e^λ₁x（u''+2λ₁u'+λ₁²u），
代入【*】，并整理
u''+(2λ₁+p)u'+(λ₁²+pλ₁+q)u=0.
因为λ₁为【*】二重根，则
λ₁²+pλ₁+q=0，2λ₁+p=0，得u''=0，
因为u(x)只要不是常数即可，不妨取简单的函数u(x)=x，得到【*】的另一个解y₂=xe^λ₁x.
因此通解为：
y=C₁e^(λ₁x)+C₂xe^(λ₁x)
y=e^(λ₁x)（C₁+C₂x）.
Case3：Δ=p²-4q＜0
λ²+pλ+q=0得λ₁，₂=α±iβ，y₁=e^[(α+iβ)x]，y₂=e^[(α-iβ)x]为【*】的解.
利用欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ把y₁、y₂改写为：
y₁=e^[(α+iβ)x]=(cosβx+isinβx)e^αx，
y₂=e^[(α-iβ)x]=(cosβx-isinβx)e^αx，
上一节有↓
【1】Th1，若φ₁(x)、φ₂(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个解，则
y=C₁φ₁(x)+C₂φ₂(x)也是【齐次】方程的解，其中C₁、C₂为任意常数.
所以根据↑，有：
Y₁=1/2(y₁+y₂)=cosβxe^(αx)，
Y₂=1/(2i)(y₁-y₂)=sinβxe^(αx)是【*】的两个线性无关解，因此【*】的通解为：
y=（C₁cosβx+C₂sinβx）e^(αx).
综上，第一步，写特征方程λ²+pλ+q=0。第二步，求λ₁、λ₂。第三步，根据两根情况按表格写通解。【步骤及表格】【《高等数学上册》p246】
推广到n阶常系数齐次线性微分方程【《高等数学上册》p247】。
7.8 常系数非齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0【*】二阶常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=f(x)【**】二阶常系数非齐次线性微分方程
【**】通解：
第一步，求齐次的通解，
第二步，求非齐次的一个特解y₀(x)，
第三步，非齐通解为齐次通解加非齐次特解y₀(x)。
所以这一节核心任务为找非齐次特解y₀(x)。
一、【**】中f(x)为Pn(x)e^kx
【例1】
特解按右边的样子假设，代入得特解。原方程通解得。
【例2】有λ与原方程e指数的系数k相同则假设多乘一个x。代入得特解具体函数。
【例3】两个λ与原方程e指数的系数k相同则乘x²。代入得特解具体函数。
【例4】没见到e^kx，那就是k=0。
二、【**】中f(x)为e^dx[多项式×cos(βx)+多项式×sin(βx)]
【例1】假设特解：指数函数提出去、按照剩下样子假设（sin、cos都要有）、代入。
【例2】没有e^(αx)，就是α=0，不要，看λ有没有相同的，有一个乘1个x。
【例3】
【例4】
这一章需要多实践。
行吧第七章结束、高数上册结束。舒服了。
喜欢肥仔马飞传请大家收藏：(www.zongcaiwenxue.org)肥仔马飞传总裁文学更新速度全网最快。