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Th（Taylor）【泰勒】【泰勒公式或泰勒中值定理】
设f(x)在x=x0邻域内n+1阶可导，
则f(x)=Pn(x)+Rn(x).
其中Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+{f''(x0)/2!}(x-x0)²+…+{[f(x)在x0处n阶导数]/n!}(x-x0)^n.
Rn={f(n+1阶)(ξ)/(n+1)!}(x-x0)^(n+1)，ξ介于x0与x之间。【拉格朗日型余项】
【证明】
思路还行。柯西中值定理。多项式。
写起来太麻烦了，不写。
【特殊情况】【麦克劳林公式】【若x0=0】【则f(x)=f(x0)+f'(x0)x+{f''(x0)/2!}x²+…+{[f(x)在x0处n阶导数]/n!}x^n+Rn】
【推论】若f(x)在x=x0邻域内n阶可导，则对∀的x0去心邻域内的点x，有
f(x)=Pn(x)+o((x-x0)^n)
证明：写起来太麻烦，不写。一串一串的。
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Rn(x)可以写成拉格朗日型余项，也可以写成佩亚诺(Peano)型余项o((x-x0)^n).
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【基本思想】f(x)在x=x0邻域内n+1阶可导，找Pn(x)与f(x)近似相等，满足在这一点，多项式值等于函数值，1到n阶导数也相等，这时f(x)=Pn(x)+Rn(x).
【】【】
特殊情况x0=0时就变成麦克劳林公式。
1.f(x)=e^x的n阶麦克劳林公式
解：e^x=1+x+x²/2+…+x^n/n!+o(x^n).
【例1】求lim(x→0)[e^(-x²/2)-1+x²/2]/x⁴
本子上做。
2.f(x)=sinx的麦克劳林公式
sinx=x-(1/3!)x³+(1/5!)x⁵-(1/7!)x⁷+…+[(-1)^n/(2n+1)!]x^(2n+1)+o(x^(2n+1)).
【例2】求lim(x→0)(x-sinx)/x³
解：1/6
【例3】本子
【索引标识符】【常用泰勒公式】
①e^x=1+x+x²/2+…+x^n/n!+o(x^n)
②sinx=x-(1/3!)x³+(1/5!)x⁵-(1/7!)x⁷+…+[(-1)^n/(2n+1)!]x^(2n+1)+o(x^(2n+1))
③cosx=1-(1/2!)x²+(1/4!)x⁴-(1/6!)x⁶+…+[(-1)^n/(2n)!]x^(2n)+o(x^(2n))
④1/(1-x)=1+x+x²+x³+…
⑤1/(1+x)=1-x+x²-x³+…
⑥ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…
【例4】本子
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麦克劳林公式太漂亮了。
下面就是
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
又是双子题目。单调性、凹凸性。
【目前可以公布的情报】
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第三章叫微分中值定理及其导数的应用。
我们通过前三节的学习可以感觉到它的第一部分：中值定理。
包括罗尔(中值)定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，还有泰勒中值定理（泰勒公式）。这四个中值定理衍生出了两种解决极限的方法，一个是洛必达法则，一个是泰勒公式（麦克劳林公式）。中值定理可以有证明之类的，洛必达和麦克劳林现在主要用于求极限。
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好继续看第四节。
一、函数单调性
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今天先到这里吧。看了四个视频，3.1微分中值定理有两个视频，3.2洛必达法则，3.3泰勒公式。明天的基础计划是3.4两个视频、3.5、3.6，如果可以的话继续看3.7，那就能明天结束第三章了。
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2020年8月15日。
没有梦，很失望。我姐又来了。所以烦人的小外甥又来了，所以我不能在一楼大厅学习了。回二楼卧室，隔壁的wifi就很弱了。
一、函数单调性
很熟悉，中学已经接触过了。
我只看看，不写了。
【例1】y=f(x)=x²-4x+11的单调性。
解：【第一步】【自变量的范围】
【第二步】【求一阶导数并分析】
【令一阶导数=0或不存在的点】
【判断一阶导数一定要用开区间】
【结论，闭区间】
【例2】y=f(x)=x³-3x²-9x+2的单调性。
解：x∈(-∞，+∞)
f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)
令f'(x)=0，x=-1或x=3.
当x∈(-∞，-1)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，-1]上单调递增；
当x∈(-1，3)时，f'(x)＜0，f(x)在[-1，3]上单调递减；
当x∈(3，+∞)时，f'(x)＞0，f(x)在[3，+∞)上单调递增.
【例3】y=(x²)^1/3的单调性。
解：x∈(-∞，+∞)
f'(x)=(x^2/3)'=2/3x^(-1/3)≠0
f(x)在x=0处不可导，
当x∈(-∞，0)，f'(x)＜0，则f(x)在(-∞，0]上单调递减；
当x∈(0，+∞)，f'(x)＞0，则f(x)在[0，+∞)上单调递增.
这3个例题很差，下面的题目提供重要思想。
【例4】证明：当x＞0时，x/(1+x)＜ln(1+x)＜x.
证明：【证明三项的不等式，可以分为两个不等式】
【首先我们来看一下右边的不等式】
令f(x)=x-ln(1+x)，f(0)=0.
f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)＞0，(x＞0)
推出f(x)在[0，+∞)单调递增，
当x＞0时，f(x)＞f(0)=0推出ln(1+x)＜x；
令g(x)=ln(1+x)-x/(1+x)，g(0)=0.
g'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)²=x/(1+x)²＞0，(x＞0)
则g(x)在[0，+∞)单调递增，
当x＞0时，g(x)＞g(0)=0推出x/(1+x)＜ln(1+x).
则原式得证。
【例5】e＜a＜b，证：a^b＞b^a.
好了我去吃午饭了，下一章再看这个例题。
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