2020年8月14日,周五。
今天的梦还不错,进入的轮回世界是一个轻小说或者有二次元风的世界,我作为主角的朋友看主角跟几个女孩子的互动。女孩子没看多少,我和主角倒是互动不少。我对主角和女生的互动心里跟明镜似的,不过没打扰,为什么我当男二这么尽责?主要主角也不让我接触女生们。还有就是主角跟我互动老是像个娘们儿一样各种玩闹打我。最后的情节是我们丢瓶子扔进楼下的垃圾桶,我没扔进去但相差无几,主角则偏太远了,扔的太近了,我就嘲笑主角力气小。然后醒了。
所以回过神来主角其实是女主?是女的?淦。我他喵完全像个傻子一样把她当兄弟,只是挺帅气的兄弟。那……
要是还有机会通过梦境进入这个轮回世界一定要和她好好互动互动。打我好多下我都记着的。不过为什么住在一起我啥也没发现呢?大概就是因为片段吧。
……
午餐青椒肉丝、麻辣鱼块、空心菜。
……
我日常受群里马涛压迫。
……
好,来看高数第三章微分中值定理与导数的应用。
第二章研究了导数、微分。
从第三章题目可以看出有两个内容,一个是微分中值定理,一个是导数的应用。这些大章就喜欢两个东西搞成一个题目,这个有点意思。
来看第一节:
3.1 微分中值定理
首先来看【引导】。
1.极值点。
……
嘟嘟嘟
去心邻域。极小点、极小值。极大点,极大值。
……
2.函数在一个点的导数有哪些情况?
>0,<0,=0,不存在。
四种情况。
如果f'(a)>0,又有极限保号性,在去心邻域也>0。通过左右邻域分析可以发现
lim(x→a){[f(x)-f(a)]/(x-a)}>0.
{f(x)<f(a),x∈(a-δ)}
{f(x)>f(a),x∈(a+δ)}
f'(a)>0推出左小右大。(x=a不是极值点)
同理
f'(a)<0推出左大右小。(x=a不是极值点)
【结论】
①f(x)在x=a取极值,推出,f'(a)=0或f'(a)不存在.反之不对。
②f(x)在x=a取极值且可导,推出,f'(a)=0.反之不对。
【反例1】y=x³,y'=3x²,y'(0)=0.
但x=0不是y=x³的极值点。(左低右高)
【反例2】y=f(x)={x,(x小于0);2x,(x≥0)}
f'₋(0)=lim(x→0⁻){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=1,
f'₊(0)=lim(x→0⁺){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=2,
∵f'₋(0)≠f'₊(0),
∴f'(0)不存在,但x=0不是极值点。
【开始正式动手】
【引】【连续和可导的区别】
……
尖尖交不可导,可导是光滑的。
……
一、Rolle中值定理【罗尔定理】
Th1,若
①f(x)∈C[a,b],
②f(x)在(a,b)内可导,
③f(a)=f(b).
则至少∃一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0.
【罗尔定理】
【条件】【闭区间连续】【开区间可导】【左右两个端点函数值相等】
【结论】【则开区间至少一个点的导数为0】
【注意】【开闭区间一定不能含糊,零点定理开区间,介值定理闭区间,罗尔定理开区间】
【几何意义】【在区间里面至少有一点切线水平】
【罗尔定理】【证明】
f(x)C[a,b],推出,f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M,
①m=M,
则f(x)≡C₀.
∀ξ∈(a,b),有f'(ξ)=0;
②m<M,
∵f(a)=f(b),
∴if f(a)=m,则f(b)=m,
推出M在(a,b)内取到;
if f(a)=M,则f(b)=M,
推出m在(a,b)内取到;
∴m,M至少一个在在(a,b)内取到;
【这里条件是m与M是不同的值,而左右端点是同一个值,所以m,M至少有一个在中间取到】
不妨设∃ξ∈(a,b),使f(ξ)=m,
推出f'(ξ)=0或f'(ξ)不存在,
∵f(x)在(a,b)内可导,
∴f'(ξ)=0
【应用】
【例1】f(x)∈C[0,2],(0,2)内可导,f(0)=-1,f(1)=2,f(2)=-2.求证∃ξ∈(0,2),使f'(ξ)=0.
证明:∵f(0)f(1)<0,【零点定理】
∴∃C₁∈(0,1),使f(C₁)=0;
又∵f(1)f(2)<0,
∴∃C₂∈(1,2),使f(C₂)=0;
∵f(x)∈C[C₁,C₂],f(x)在(C₁,C₂)内可导,
又∵f(C₁)=f(C₂)=0,
∴∃ξ∈(C₁,C₂)⊂(0,2),使f'(ξ)=0.
【例2】f(x)∈C[0,2],(0,2)内可导,f(0)=1,f(1)+2f(2)=3.求证∃ξ∈(0,2),使f'(ξ)=0.
证明:
1º,∵f(x)∈C[1,2],
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