【上式中u(x)是常数，因为没有Δx】
∵v(x)可导
∴v(x)连续
∴lim(Δx→0)v(x+Δx)=v(x)
∴φ'(x)=lim(Δx→0)Δφ/Δx
=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
即[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
③证明：
令φ(x)=u(x)/v(x)，（v(x)≠0）
Δφ=φ(x+Δx)-φ(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)-u(x)/v(x)
【通分，分母v(x)先写只是一种习惯】
=[u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x+Δx)]/[v(x)v(x+Δx)]
【处理分子，凑Δ】
={u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x)-[u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)]}/[v(x)v(x+Δx)]
=[Δu·v(x)-u(x)·Δv]/[v(x)v(x+Δx)]
看Δφ/Δx={1/[v(x)v(x+Δx)]}·[(Δu/Δx)·v(x)-u(x)·Δv/Δx]
lim(Δx→0)Δφ/Δx
=[1/v(x)]·lim(Δx→0)……
……
被网络运营商信息打断，就起身喝了盒酸奶，舔酸奶盖盖，吃了几片薄饼，因为不想刮皮，就没吃梨子。
然后保存马飞给的资料。
继续。
……
lim(Δx→0)Δφ/Δx
=[1/v(x)]·{1/[lim(Δx→0)v(x+Δx)]}·{[v(x)·lim(Δx→0)Δu/Δx]-[u(x)·lim(Δx→0)Δv/Δx]}
即φ'(x)=[1/v²(x)]·[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]
∴[u(x)/v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v²(x)
【推论】
①(ku)'=ku'
②(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
【例1】
y=x³e^x，求y'
解：y'=(x³)'e^x+x³(e^x)'
=3x²e^x+x³e^x
=略
【例2】前面正弦余弦倒数已求
①y=tanx，求y'（三角函数正切）
②y=cotx，求y'（三角函数余切）
③y=secx，求y'（三角函数正割）
④y=cscx，求y'（三角函数余割）
解：①(tanx)'
=(sinx/cosx)'
=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos²x
=(cos²x+sin²x)/cos²x
=1/cos²x
【正弦sin对余割csc，正割sec对余弦cos】
【即secx=1/cosx】
=sec²x
结论：
(tanx)'=sec²x
②(cotx)'
=(cosx/sinx)'
=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin²x
=[-sin²x-cos²x]/sin²x
=-1/sin²x
=-csc²x
结论：
(cotx)'=-csc²x
③(secx)'
=(1/cosx)'
=[1'cosx-1·(cosx)']/cos²x
=sinx/cos²x
=secx·tanx
结论：
(cscx)'=secx·tanx
④(cscx)'
=(1/sinx)
=[0-cosx]/sin²x
=-cscx·cotx
结论：
(cscx)'=-cscx·cotx
……
晚餐，剩菜。
……
【小结】
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)'=secx·tanx
(cscx)'=-cscx·cotx.
可以发现还是有规律的。比如c开头的三角函数导数有负号。
……
【例3】
y=f(x)=x(x+1)…(x+99)，求f'(0).
解：法一：
f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x→0)(x+1)…(x+99)
【发现是多项式嘛，初等函数在定义域内都是连续的嘛，极限值等于函数值】
=99!
法二：
f'(x)=(x+1)(x+2)…(x+99)+x(x+2)…(x+99)+…+x(x+1)…(x+98)
∴f'(0)=99!
……
2.2求导法则（二）
【引言】
基本初等函数里，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导已经解决，那么基本初等函数——反三角函数怎么求导呢？
反三角函数是三角函数的反函数，那么我们是不是可以通过反函数求导来解决反三角函数的求导问题呢？
【严格单调的函数才有反函数】
二、反函数求导法则
y=f(x)严格单调
y=f(x)→ x=φ(y)【不用对调】
左右x、y一样。左右式子xy角色身份互换而已，其他一样。
Th2：设y=f(x)可导且f'(x)≠0，x=φ(y)为反函数，则x=φ(y)可导，且φ'(y)=1/f'(x).
本小章还未完~.~，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！